镜像世界探秘9——第一性原理

第一性原理(first principles)一直是科学研究所尊崇的基本方法。在科学的各个领域里都不乏第一性原理的应用。例如,自然选择就是生物学里的进化论的第一性原理。而数学上,一套公理体系就扮演着某一分支的第一性原理的角色,最著名的莫过于欧几里德几何的第五或平行公设。

在物理上第一性原理就更不可或缺。比如牛顿经典力学的基础就是牛顿的运动定律,更现代的表述是经典的变分或作用量原理。经典电磁理论由麦克斯韦方程(Maxwell’s equations)决定,而更新的理解就是 U(1) 规范对称原理。

爱因斯坦(Einstein) 在一百多年前就提出了一个更一般性的相对论性原理:物理规律应该独立于任何参照系的选择。对于惯性参照系来说,这对应着洛伦兹不变性(Lorentz invariance),并直接导致了狭义相对论的诞生。狭义相对论的另一光速不变原理实际上是时空几何概念的自然要求。当考虑加速参照系时,爱因斯坦提出了等效原理并创立了把引力描述为经典时空几何的广义相对论。同样地,广义相对论也可以由经典的变分原理得到。

量子理论的发展要更复杂一些。有许多旧观念需要被打破,从而建立新思想。例如,用量子性(quantumness)或分立性(discreteness)来代替经典理论的连续性,用几率幅来表征物理态,用算符来计算观察量,等等。但是,我们还是看到有一些思想从经典到量子理论被神奇地传承下来。比如,非相对论性的量子力学,即薛定谔(Schrödinger)波动方程,可以由费曼(Feynman)的路径积分办法完全得到。而费曼的路径积分表述就是升级版的量子变分原理(quantum variational principle)。

甚至现代的量子场论(quantum field theory – QFT)也可以由量子变分原理得到。只不过,原来的非相对论性情形下的时空路径(paths)积分要由时空中的场位型(field configurations)积分来替换。此外,量子场论也遵从洛伦兹不变性。现代数学的纤维丛(fiber bundle)理论可以对量子场论的对称性给出更好的理解。量子场论的规范对称性就是局域或内廪纤维空间的对称性,而洛伦兹对称性是对应的时空底流形(base manifold)的对称性。在微分几何的框架下,规范和洛伦兹对称性都可以看成是一种给定流形的保度规的和乐(holonomy) 群。

我们看到从经典到量子的过渡,有两类原理保留下来:一个是变分或作用量原理,一个是holonomy对称性。一个诱人的想法是进一步推广这两个原理从而建立一套新的基础物理原理体系,然后用这套新原理(不必要是单个模型或理论)来自洽一致地理解基础物理和宇宙学。

自从量子场论的现代版本-标准模型(standard model)的建立,理论物理学家们过多地期望建立一种大一统终极理论来统一经典的广义相对论和量子理论。这种统一理论通常称为量子引力理论,比如热门的弦论(string theory)和圈量子引力(loop quantum gravity)。然而这种静态的对统一理论的理解也许是误入了歧途。

科学的进步启示我们,无论从社会历史,生物进化,还是宇宙的演化的角度,我们都是在一个动态演化的世界。一个静态的统一理论显然与这样的动态发展格格不入。一个更合理方向应该是追求一套第一性原理的开放体系从而建立一系列自洽的理论来动态地诠释物理。特别地,此动态图景告诉我们,时间反演对称性应该是宇宙的第一个对称性,同时也是第一个破缺的对称性,只有时间箭头的诞生才会有宇宙和万物的演化。很可能,我们今天感受到的4维时空是一维一维暴胀(inflation)出来的。

在进一步讨论之前,我们首先给出三个关于基础物理和宇宙学的第一性原理:

  1. 量子变分原理:以费曼路径积分形式为基础的变分或作用量原理的量子版本提供了理论的基本概念和数学框架。
  2. 可观测性原则:物理世界是可观测的,或者说观测结果必须是自洽有限的。
  3. 时空暴胀原理:通过维度相变,时空是一维一维暴胀出来的并定义了物质场及其作用。

原理1(即量子变分原理)给出了构建理论的方法。费曼所发展的路径积分形式给出的量子变分原理告诉我们如何用同时包含代数和几何思想的微分几何的数学语言来建立物理理论体系。原理2(即可观测性原则)作为爱因斯坦的相对论性原理的推广,指出物理世界的可观测性导致我们能观测到什么。可观测性是指我们的观测结果必须是有限的和自洽的。这很自然地引入了对称性,特别是保时空度规的 holonomy 群。这告诉我们物理体系的对称性来自于可观测性的要求。

前两个原理提供了足够的工具来构造一个静态的或单相的理论。但是它们无法给出体系的物理内涵及相变机制。过去很多理论,特别是凝聚态方面的理论,其实都是对一个给定物理内容的体系应用这两个原理。这里的原理3(即时空暴胀原理)则不但给出了给定时空相的物理内容(即场及其相互作用),还揭示了时空维度的相变机制。这才真正自然地展示了一个动态演化的宇宙。

一言以蔽之,量子变分原理提供了物理概念和数学形式,可观测性原则导致了物理约束和对称性,时空暴胀原理则规定了物理内涵(即场及其相互作用)。这些原理一起就可以给出我们前面讨论过的最新的镜像物质理论(Mirror Matter Theory),特别是系列超对称镜像模型(supersymmetric mirror models),对时间箭头的涌现和宇宙大爆炸的动力学等等谜题作出全面解释。

在我看来,费曼最大的贡献应该是他的路径积分方法,比为他赢得诺贝尔奖的QED工作还要重要和深刻的多。另一个大物理学家 Hans Bethe 曾经评价费曼是天才中的魔术师。这是一个非常中肯的评价。费曼可能是,至少对我来说,20世纪最令人钦佩(most admired)的两个物理学家之一。另一个当然是爱因斯坦,这里讨论的原理2(可观测性原则)可以看作是对他的相对性原理的推广。

路径积分方法要求,量子几率幅由所有可能的位型贡献的相干叠加决定。每一个场位型都平等地贡献一个指数相因子。这个平等原则(democracy principle)只代表机会平等,不代表结果平等。事实上,绝大多数情况下不同场位型的贡献都互相抵消,只有极值位型附近的拥有极大对称性的贡献才最可几。在经典极限下,这对应着经典物理的最小作用量原理。

路径积分方法中的指数相因子由作用量(action)和 Planck 常数之比决定。Planck 常数决定了理论的分立的量子性。而作用量,或者说给定时空流形下拉氏量(Lagrangian)的构造,就决定了一个体系的物理模型。时空暴胀原理决定了作用量可以包含什么样的场和相互作用。可观测性原则则决定了什么样的对称项才可以进入作用量。

可观测性原则要求观测必须满足两个条件:有限性和自洽性(finiteness and consistency)。有限性用现代量子场论(QFT)的语言来说就是可重整化性(renormalizable)。这一点很容易理解,不可重整的项会导致发散的作用量,这样的位型贡献由于指数相因子会趋近于零,即对最终的几率幅无贡献。

自洽性保证我们的测量有意义。特别地,它给出了给定几何下的保内积的 holonomy 群,即对延展时空的洛伦兹群和局域或内廪纤维空间的规范群的推广。例如,n-维黎曼流形(Riemannian manifold)的 holonomy 群是 O(n), 2n-维 Kähler 流形的holonomy 群是 U(n),而 2n-维 Calabi-Yau 流形的 holonomy 群是 SU(n)。4-维时空下的洛伦兹群 O(1,3),和标准模型下的 SU(3)、SU(2)、和 U(1) 规范对称性正是其中的特例。

可观测性原则还引发了延展时空下的两个分立对称性。一个是流形的定向(orientation)对称性,即新镜像理论里的镜像对称性(mirror symmetry)。另一个就是超对称(supersymmetry)。显然,取决于流形的拓扑结构,这两个对称性会发生自发破缺。

镜像对称的意义和影响我们前文已经讨论很多了。这里再多说几句超对称。它是在二维及以上时空下连接费米子和玻色子的对称性,它引出了反对易的超空间及限定了对应时空下的物理场的存在性。它也保证了哈密顿量(Hamiltonian)和能量的正定性,和时间箭头的方向。

时空暴胀原理也许首先最形象地出现在老子的《道德经》里:“道生一,一生二,二生三,三生万物”。这与我们的时空相变理论有着惊人地巧合。“道”对应0维的,即没有延展时空维度的量子混沌。“一”对应1维的时间。“二”对应2维时空(1维时间+1维空间)。“三”也许该改为“四”,对应于4维时空。

用现代的数学语言来说,时空暴胀可以想象成一个双重纤维丛(double fiber bundle)的暴胀。首先一维时间成为纤维丛的底流形(base manifold)。然后一维切纤维空间以指数方式成长出来,于是新生成的二维时空成为新纤维丛的底流形。类似地,二维切纤维空间接着暴胀成二维延展的空间,生成我们现在看到的4维时空。由于超对称的要求,底流形除了4维时空外,还有6维未延展的 Calabi-Yau 空间(对应6个夸克凝聚态生成的 Higgs 标量场),但无法进一步暴胀(由标量场的重整化群理论可知)。

超对称的一般理论告诉我们,一维时间下只能有一个简单的实标量场。二维时空下,除了标量场外还可以有马约拉那(Majorana)费米子和 U(1) 规范玻色子。在4维时空下,更多的规范玻色子和狄拉克(Dirac)费米子才可能存在。于是我们可以基于时空暴胀原理构造出一系列超对称镜像模型(supersymmetric mirror models)

特别地,4维时空成为了轻子(leptons)- 包括电子和中微子的诞生地。其对应的4维切纤维空间给出了 U(2) 规范作用,即 SU(2) 弱相互作用和 U(1) 电磁作用。显然,有三种独立的方式(从4维中选2维)可以构造普通和镜像 U(1) x U(1)’ 作用,这决定了为什么轻子有三代。4维几何无法同时容纳两套独立的 SU(2) 相互作用,于是我们的普通世界是左手的,而镜像世界变成右手的。

在6维未延展的 Calabi-Yau 空间里定义了夸克,这也是夸克为什么会被禁闭在强子里而不得自由出现在4维时空里。此空间和对应6维切纤维空间也定义了夸克的 SU(3) 强相互作用以及在分级夸克凝聚后破缺的 U(6) 味规范作用。

这里我们看到一个自然的经典-量子二元性(classical-quantum duality)。经典物理(特别是引力)源自延展的时空,而量子现象则由未延展的空间决定。但自洽一致性要求经典时空和量子空间紧密联系在一起,事实上是无法分开的,只是一个物理实在的两面。

从这三个第一性原理出发,我们看到了如何重构基础物理和宇宙学的基石-镜像理论框架。但歌德尔不完备定理(Gödel’s incomplete theorems)告诉我们不存在完备的公理体系,也就是说我们的世界本质上是开放的。我们显然需要发掘更多的第一性原理来不断地更好地理解充满无穷奥秘的物理世界。

本文基于如下论文:“First principles of consistent physics

May 1, 2021
Last modified: May 1, 2021

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