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我刚刚在 PhilPapers 上贴出了我即将在Philosophy of Science上刊出的文章。（一篇数学论文出现在Philosophy of Science上确实让人感觉有些奇怪，不过事情就是这样……）
这篇文章的重点是描述一个我解决不了的问题。但这个问题非常简单，任何数学系本科生甚至是高中生都能理解。下面就让我来尝试解释一下这个问题。
康托告诉我们，不同的无穷集合可以具有不同的大小。
点击此处快速复习康托……
按照康托的定义，说集合 \(A\) 与集合 \(B\) 大小相同，就是说二者之间存在一个完全的一一对应。例如，\(0\mapsto 0, 1\mapsto 2, 2\mapsto 4, \dots, n\mapsto 2n, \dots \) 因此，自然数的集合\( \{0,1,2,3,\dots\} \)与偶数的集合\( \{0,2,4,\dots\} \)大小相同。与自然数集合大小相同的集合称为“可数集”。在所有无限集合中，可数集是最小的。另一方面，实数的集合比可数集更大，因为康托发现：无论我们用什么方式把可数多个实数列举出来，总能找到另一个不在这个列表上的的实数。
康托的理论有一个有趣的特点：尽管偶数似乎只占自然数的“一半”，在康托的理论中，这两个集合的大小却完全相同！
这样一来，如果对于集合按照大小进行分类，分出的类数就相当少了。例如，考虑一个大小为 \(\aleph_7\) 的集合。它位于无穷的第八个层级（可数集位于第一个层级，称为\(\aleph_0\)）。它的任何无限子集都只能属于这八个层级之一。然而，它共有 \(2^{\aleph_7}\) 个无穷子集；与 8 相比，这是一个非常巨大的数字！换句话说，如果按照大小分类，这 \(2^{\aleph_7}\) 个无穷子集只能被归入 8 个篮子。
但如果我们希望说偶数集合确实比自然数集合更小呢？那就需要采用另一种关于“大小”的定义。所谓“部分—整体原则”（part-whole principle）是说：如果集合 \(A\) 真包含于集合 \(B\)，那么 \(A\) 的大小就严格小于 \(B\) 的大小。
下面让我来描述我没能解决的问题：
假设给定一个无限集合 \(\kappa\)，我们为它的各个子集指定大小，并且要求这个指定方式遵从部分—整体原则。也就是说，我们需要按照大小，把 \(2^\kappa\) 个子集分别归入若干个篮子。我们最少需要多少个篮子？
显然，我们需要的篮子要比康托理论中的多得多（比如说，自然数和偶数原本在同一个篮子中，现在需要两个），而且随着 \(\kappa\) 的增大，这个数量也会增长。但究竟需要多少？
我在文章中证明，这个数量至少是\( \text{ded }\kappa\)。这是一个与 \(\kappa\) 相关、并且大于 \(\kappa\) 的量，此结论改进了此前的结果。
\(\text{ded }\kappa\) 本身也很有意思，因为它关系到无穷的另一个奇特性质。下面让我说一说它是什么。
想象一条线段、一根绳子、一根香蕉，或者任何类似的东西。如果从中间切一刀，就得到两段；切两刀，就得到三段；切 \(n\) 刀，就得到 \(n+1\) 段。听起来平平无奇，对吧？
然而，当你可以切无限多刀时，情况就有些不同了。把线段想象成实数区间 \([0,1]\)。现在，我们在所有有理数处下刀。最终会得到多少段？注意，任意两个无理数都会属于不同的段，因为根据有理数的稠密性，它们之间总有一个有理数，而我们已经在所有的有理数处切了一刀。
康托告诉我们，有理数只有可数多个，无理数却有不可数多个。于是，我们得到了一个非常奇异的情况：
只用可数多刀，就能切出不可数多个块！
这与有限情形形成了鲜明的对比。在有限情形中，块数 \(n+1\) 与刀数 \(n\) 的数量级是一样的，并没有多大区别。
注意到这一现象的数学家之一是理查德·戴德金。事实上，他把实数定义成在有理数上可以切出的块，也就是“戴德金分割”。那么，如果我们切的不只是可数多刀，而是更多刀，又会怎样？
考虑一个无限数 \(\kappa\)，假设我们切 \(\kappa\) 刀。所能得到的最大块数恰好就是\( \text{ded }\kappa\)，这个量以戴德金命名。正如我们刚才看到的，可数多刀可以切出不可数多块。一般地，我们有\[ \text{ded }\kappa>\kappa. \]
最后，让我解释为什么我解决不了自己的问题。
我们需要对 \(2^\kappa\) 个集合进行分类。从已有结果中，已知可以在遵守部分—整体原则的前提下，把它们分入 \(2^\kappa\) 个篮子。现在，我又证明了至少需要 \(\text{ded }\kappa\) 个篮子。因此，如果\[ \text{ded }\kappa=2^\kappa, \]
问题就解决了。困难在于，尽管\[ \text{ded }\kappa\leq 2^\kappa, \]
是否对于所有的\(\kappa\)两者都相等，却独立于数学的基础公理系统，也就是 \(\mathsf{ZFC}\)。换句话说，在某些数学宇宙中，对于某些\(\kappa\)，我们有\[ \text{ded }\kappa<2^\kappa. \]
那么，在这些情况下，我们能否只用少于 \(2^\kappa\) 个篮子来完成根据大小进行的分类？
我曾尝试解决这个问题，但它似乎超出了我的能力。我希望有一天，某位数学家——或者某个人工智能——能够给出答案！我能想到几种可能的结局：
- 某个论证——也许相当简单，只是迄今为止我们没有想到——可以证明无论如何都至少需要 \(2^\kappa\) 个篮子。
- 某个 \(\mathsf{ZFC}\) 中的构造——也许会比较复杂——证明始终只需 \(\text{ded }\kappa\) 个篮子。
- 某个力迫构造证明，存在一个 \(\mathsf{ZFC}\) 宇宙，使我们能够使用少于 \(2^\kappa\) 个篮子。